Question :-
Evaluate
[tex](1) \: \: \frac{4}{(216)^{ \frac{ – 2}{3} } } + \frac{1}{(256)^{ \frac{ – 3}{4} } } + \frac{2}{(243)^{ \frac{ – 1}{5} } } \\ \\ (2) \: \: (\frac{81}{16})^{ \frac{ – 3}{4} }[( \frac{25}{9})^{ \frac{ – 3}{2} } \div ( \frac{5}{2} )^{ – 3} ][/tex]
[tex]\large\underline\mathrm{Questions \: 1.}[/tex]
[tex]\large\underline\mathrm{Solution:-}[/tex]
[tex]\: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: \frac{4}{{(216)}^{\frac{-2}{3}}} \: \: = \: \: {4} \: \times \: {(216)}^{\frac{2}{3}} [/tex]
[tex]\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \: \: {4} \: \times \: {({6}^{3})}^{\frac{2}{3}} [/tex]
[tex]\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \: \: {4} \: \times \: {(6)}^{{\cancel{3}} \: \times \: \frac{2}{\cancel{3}}} [/tex]
[tex]\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \: \: {4} \: \times \: {(6)}^{2}[/tex]
[tex]\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \: \: {4} \: \times \: {36}[/tex]
[tex]\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \: \: {114} \: \: \: \: \: \: \: .{(i)}[/tex]
[tex]\: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: \frac{1}{{(256)}^{\frac{-3}{4}}} \: \: = \: \: {(256)}^{\frac{3}{4}} [/tex]
[tex]\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \: \: {(4)}^{{\cancel{4}} \: \times \: {\frac{3}{\cancel{4}}}} [/tex]
[tex]\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \: \: {(4)}^{3} [/tex]
[tex]\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \: \: {64} \: \: \: \: \: \: \: .{(ii)}[/tex]
[tex]\: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: \frac{2}{{(243)}^{\frac{-1}{5}}} \: \: = \: \: {2} \: \times \: {(245)}^{\frac{1}{5}}[/tex]
[tex]\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \: \: {2} \: \times \: {({3}^{5})}^{\frac{1}{5}} [/tex]
[tex]\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \: \: {2} \: \times \: {(3)}^{{\cancel{5}} \: \times \: {\frac{1}{\cancel{5}}}} [/tex]
[tex]\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \: \: {2} \: \times \: {3} [/tex]
[tex]\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \: \: {6} \: \: \: \: \: \: \: .{(iii)} [/tex]
[tex]\: \: Now,[/tex]
[tex]\: \: \: \: \: \: Adding \: \: equation \: \: {(i)}, \: \: {(ii)} \: \: and \: \: {(iii)}[/tex]
[tex]\: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: {144} \: + \: {64} \: + \: {6} [/tex]
[tex]\: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: {144} \: + \: {70} [/tex]
[tex]\: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: {214}. [/tex]
[tex]\large\underline\mathrm{Question \: 2.}[/tex]
[tex]\large\underline\mathrm{Solution:-}[/tex]
[tex]\: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: {{(\frac{3}{2})}^{{\cancel{4}} \: \times \: \frac{-3}{\cancel{4}}}} \: \: {{[{(\frac{5}{3})}^{\cancel{2} \: \times \: \frac{-3}{\cancel{2}}} \: \div \: {(\frac{5}{2})}^{-3}]}}[/tex]
[tex]\: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: {(\frac{3}{2})}^{-3} \: \: [{(\frac{5}{3})}^{-3} \: \div \: {(\frac{5}{2})}^{-3}][/tex]
[tex]\: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: \frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{3}} \: \: [\frac{1}{{(\frac{5}{3})}^{3}} \: \div \: \frac{1}{{(\frac{5}{2})}^{3}}][/tex]
[tex]\: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: \frac{1}{(\frac{27}{8})} \: \: [\frac{1}{(\frac{125}{27})} \: \div \: \frac{1}{(\frac{125}{8})}][/tex]
[tex]\: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: {\frac{8}{27}} \: \: [{\frac{27}{125}} \: \div \: {\frac{8}{125}}][/tex]
[tex]\: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: {\frac{8}{27}} \: \: [{\frac{27}{125}} \: \times \: {\frac{125}{8}}][/tex]
[tex]\: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: {\frac{\cancel{8}}{\cancel{27}}} \: \: \times \: {\frac{\cancel{27}}{\cancel{8}}}[/tex]
[tex]\: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: {1.}[/tex]
[tex]\sf ANSWER [/tex]
================================
(i) [tex]\begin{gathered} \frac{4}{ {(216)}^{ \frac{ – 2}{3} } } \: \: + \: \frac{1}{ {(256)}^{ \frac{ – 3}{4} } } \: + \: \frac{2}{ {(243)}^{ \frac{ – 1}{5} } } \\ \\ \\ 4 \times {(216)}^{ \frac{2}{3} } + 1 \times {(256)}^{ \frac{3}{4} } + 2 \times {(243)}^{ \frac{1}{5} } \\ \\ \\ 4 \times {6}^{3 \times \frac{2}{3} } + {4}^{4 \times \frac{3}{4} } + 2 \times {3}^{5 \times \frac{1}{5} } \\ \\ \\ 4 \times {6}^{2} + {4}^{3} + 6 \\ \\ \\ 4 \times 36 + 64 + 6 \\ \\ \\ 214\end{gathered}[/tex]
================================
(2)-:
[tex]\large\underline{\sf{Solution-}} [/tex]
[tex]\rm :\longmapsto\: \bigg( { \dfrac{81}{16} } \bigg)^{ \dfrac{ – 3}{4} } \times[/tex]
[tex]\bigg( { \dfrac{25}{9} } \bigg)^{ \dfrac{ – 3}{2} } \div \bigg({ \dfrac{5}{2} } \bigg)^{ – 3}:[/tex]
[tex]\rm \: \: = \: \: \bigg( { \dfrac{16}{81} } \bigg)^{ \dfrac{3}{4} } \times \bigg( { \dfrac{9}{25} } \bigg)^{ \dfrac{3}{2} } \div \bigg({ \dfrac{2}{5} } \bigg)^{3} [/tex]
[tex]\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \red{\bigg \{ \because \: {\bigg(\dfrac{a}{b} \bigg) }^{ – m} = {\bigg(\dfrac{b}{a} \bigg) }^{m}\bigg \}}[/tex]
[tex]\rm \: \: = \: \: \bigg( { \dfrac{2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 3 \times 3 \times 3} } \bigg)^{ \dfrac{3}{4} } \times \bigg( { \dfrac{3 \times 3}{5 \times 5} } \bigg)^{ \dfrac{3}{2} } \times \bigg({ \dfrac{5}{2} } \bigg)^{3}
\rm \: \: = \: \: \bigg( { \dfrac{2}{3} } \bigg)^{4 \times \dfrac{3}{4} } \times \bigg( { \dfrac{3}{5} } \bigg)^{2 \times \dfrac{3}{2} } \times \bigg({ \dfrac{5}{2} } \bigg)^{3}[/tex]
[tex]\rm \: \: = \: \: \bigg( { \dfrac{2}{3} } \bigg)^{3} \times \bigg( { \dfrac{3}{5} } \bigg)^{3} \times \bigg({ \dfrac{5}{2} } \bigg)^{3}[/tex]
[tex]\rm \: \: = \: {\bigg(\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{5} \times \dfrac{5}{2} \bigg) }^{3}[/tex]
[tex]\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \red{\bigg \{ \because \: {x}^{m} \times {y}^{m} = {(xy)}^{m} \bigg \}}[/tex]
[tex]\rm \: \: = \: {(1)}^{3}=(1) [/tex]
[tex]\large\rm \: \: = \: 1[/tex]
Hence,
[tex]\bf :\longmapsto\:\: \bigg( { \dfrac{81}{16} } \bigg)^{ \dfrac{ – 3}{4} } \times \bigg( { \dfrac{25}{9} } \bigg)^{ \dfrac{ – 3}{2} } \div \bigg({ \dfrac{5}{2} } \bigg)^{ – 3} = 1[/tex]
Additional Information :-
[tex]\green{\boxed{ \tt \: {x}^{m} \times {x}^{n} = {x}^{m + n}}}[/tex]
[tex]\green{\boxed{ \tt \: {x}^{m} \div {x}^{n} = {x}^{m – n}}} [/tex]
[tex]\green{\boxed{ \tt \: {( {x}^{m}) }^{n} = {x}^{mn} }} [/tex]
[tex]\green{\boxed{ \tt \: {x}^{0} = 1 }} [/tex]
[tex]\green{\boxed{ \tt \: {x}^{ – y} = \dfrac{1}{ {x}^{y} } }} [/tex]
[tex]\green{\boxed{ \tt \: {x}^{m} \times {y}^{m} = {(xy)}^{m} }} [/tex]